Giải Phương Trình & Số Học

Giải phương trình bậc hai, bậc ba, hệ phương trình bậc nhất, và trả lời những câu hỏi số học thường gặp — ƯCLN, BCNN, phân tích thừa số nguyên tố, các ước, chỉnh hợp và tổ hợp — tất cả trong một trang.

Các bước

1. Chọn chế độ: Bậc hai, Bậc ba, Hệ phương trình, ƯCLN / BCNN / số nguyên tố, Tổ hợp & chỉnh hợp hoặc Giải tích.
2. Nhập các hệ số. Với hệ phương trình, mỗi dòng một phương trình — 2 1 5 nghĩa là 2x + y = 5, tức số cuối mỗi dòng là vế phải.
3. Đọc kết quả ngay. Không cần bấm gửi; mọi ô tính lại khi bạn vừa gõ.
4. Giải tích là chế độ duy nhất phải bấm nút, vì nó nạp một engine đại số trước. Trong thẻ Đạo hàm, tích phân & giới hạn, chọn Đạo hàm d/dx, Tích phân ∫ hoặc Giới hạn lim, gõ vào ô Biểu thức, đặt Biến, rồi bấm Tính (hoặc nhấn Enter).
5. Với đạo hàm, đặt Bậc (1–8) để lấy đạo hàm nhiều lần; mọi bậc trung gian đều được liệt kê ở mục Từng bậc.
6. Với tích phân, bật Tính trên một khoảng (tích phân xác định) rồi điền Từ và Đến khi bạn cần một con số thay vì một Nguyên hàm.
7. Với giới hạn, gõ đích đến của biến vào ô x → — một con số, một biểu thức như pi/2, hoặc inf.
8. Hãy đọc thẻ màu bên cạnh mỗi kết quả. Chính xác (ký hiệu) nghĩa là kết quả được suy ra bằng đại số; Ước lượng số nghĩa là nó được đo bằng số chứ không phải giải ra.

Mẹo

• Chế độ bậc hai còn cho bạn biệt thức, đỉnh và trục đối xứng — đủ để hình dung parabol mà không cần vẽ.
• Khi biệt thức âm, bạn nhận được cặp nghiệm phức viết dạng a ± bi thay vì thông báo "vô nghiệm".
• Phần bậc ba chỉ liệt kê nghiệm thực. Phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực, và nghiệm kép chỉ hiện một lần.
• Ở chế độ số học bạn có thể dán bao nhiêu số cũng được, phân cách bằng dấu phẩy, khoảng trắng hay dòng mới — ƯCLN và BCNN được tính trên toàn bộ cùng lúc.
• Muốn vẽ đồ thị thay vì giải? Dùng công cụ Đồ Thị Hàm Số. Muốn tính toán thường? Dùng Máy Tính Khoa Học.
• Trong chế độ Giải tích, ba phép toán không có cùng độ tin cậy, và khung Kết quả nào là chính xác ở đầu thẻ nói thẳng điều đó:
  • Đạo hàm là chính xác. Chúng được lấy đạo hàm theo ký hiệu đại số, nên kết quả đúng là đạo hàm chứ không phải một xấp xỉ. Điều này đúng với mọi bậc bạn yêu cầu.
  • Nguyên hàm chỉ chính xác khi có một quy tắc khớp và vượt qua bước kiểm tra. Công cụ tự lấy đạo hàm ngược lại kết quả của mình rồi đối chiếu với hàm dưới dấu tích phân; nếu không khớp, kết quả bị loại bỏ và bạn được báo rằng "một quy tắc đã khớp nhưng lấy đạo hàm ngược lại không tái tạo được hàm ban đầu". Bộ quy tắc có sẵn gồm lũy thừa, 1/x, exp, sin, cos, tan, log, sqrt, tổng, nhân hằng số và phép thế tuyến tính f(ax+b) — ngoài phạm vi đó bạn sẽ nhận thông báo không có quy tắc nào bao phủ.
  • Tích phân xác định trên một khoảng được tính bằng quy tắc Simpson, gắn nhãn Ước lượng số và ghi rõ số khoảng chia. Khi đồng thời có nguyên hàm chính xác, cả hai đều được liệt kê: giá trị chính xác F(b) − F(a) và con số Simpson, để bạn thấy chúng khớp nhau.
  • Giới hạn luôn luôn là ước lượng bằng số. Giá trị được lấy mẫu từ cả hai phía rồi so sánh, và vì thế kết quả cũng có thể là Không bị chặn, Không tồn tại — hai phía không khớp nhau, hoặc Chưa xác định — các mẫu không hề ổn định (hàm có thể dao động).
• Vì giới hạn được lấy mẫu chứ không giải ra, dòng Từ mỗi phía rất đáng đọc. Nó hiển thị riêng giá trị bên trái và bên phải — đó chính là bằng chứng dẫn tới kết luận.
• Tích phân xác định trên khoảng mà hàm số không hữu hạn sẽ được báo đúng như vậy, kèm giá trị x gần chỗ hỏng, thay vì trả về một con số vô nghĩa.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao chế độ bậc hai không cho a = 0?

Vì bx + c = 0 là phương trình bậc nhất, không phải bậc hai. Trang sẽ nhận ra, thông báo cho bạn và hiển thị nghiệm duy nhất.

"Không có nghiệm duy nhất" với hệ phương trình nghĩa là gì?

Các phương trình của bạn hoặc phụ thuộc (cùng một đường thẳng viết hai lần, tức vô số nghiệm) hoặc không tương thích (hai đường song song, tức vô nghiệm). Phép khử Gauss không thể chọn ra một đáp án trong cả hai trường hợp.

Số lớn tới đâu thì tính được?

Giai thừa vượt giới hạn số thực của JavaScript khi n > 170 và hiện ∞. Tổ hợp (nCr) giữ được chính xác lâu hơn nhiều vì được tính dồn theo tích chứ không qua n! / r!(n−r)!.

Vì sao tích phân của tôi không ra nguyên hàm?

Hoặc là không có quy tắc dựng sẵn nào bao phủ hàm của bạn, hoặc quy tắc có cho ra một ứng viên nhưng lấy đạo hàm ngược lại không tái tạo được hàm ban đầu — khi đó ứng viên bị loại bỏ chứ không hiển thị. Chính bước kiểm tra này là lý do một kết quả gắn nhãn Chính xác (ký hiệu) đáng tin. Hãy bật Tính trên một khoảng để lấy một con số theo quy tắc Simpson thay thế.

Tôi có tin được một giới hạn ra số cụ thể không?

Hãy coi đó là một ước lượng rất tốt chứ không phải một chứng minh. Giá trị được lấy mẫu từ hai phía và thấy khớp nhau; công cụ gắn nhãn Ước lượng số đúng vì lý do đó. Hãy xem dòng Từ mỗi phía trước khi dựa vào kết quả.

Vì sao lần đầu vào chế độ Giải tích phải chờ một chút?

Vì nó nạp engine đại số theo yêu cầu — trang hiện dòng Đang tải engine đại số… — và đó cũng là lý do chế độ này có nút Tính trong khi các chế độ khác tính lại ngay khi bạn gõ. Engine chỉ nạp một lần cho mỗi lượt truy cập.

Có gì bị tải lên không?

Không. Mọi phép tính chạy ngay trên trình duyệt của bạn.